6.9 Semester 1 Midterm Exam Review

1. Probability 概率

基础概念 (Basic Concepts)：

1. 事件与概率 (Event and Probability)：
1. 事件 (Event)：试验结果的一个子集。例如，投掷硬币出现正面。
2. 概率 (Probability)：事件发生的可能性，用 表示。

2. 联合概率 (Joint Probability)：
1. 表示两个事件同时发生的概率，公式为：

3. 条件概率 (Conditional Probability)：
1. 在已发生的条件下发生的概率：

4. 加法规则 (Addition Rule)：
1. 计算两个事件联合发生的概率：

5. 互补事件 (Complement Rule)：
1. 某事件未发生的概率：

2. Random Variables and Probability Distributions 随机变量与概率分布

基础概念 (Basic Concepts)：

1. 随机变量 (Random Variable)：
1. 定义：表示试验结果的数值变量。
2. 类型：
• 离散随机变量 (Discrete)：可取有限值（如掷骰子）。
• 连续随机变量 (Continuous)：值是一个区间中的任意数（如身高）。

2. 概率分布 (Probability Distribution)：
1. 概率分布描述随机变量的可能取值及其概率。

3. 期望值 (Expected Value)：
1. 表示随机变量的长期平均值：

4. 方差与标准差 (Variance and Standard Deviation)：
1. 方差：
2. 标准差：

3. Linear Operations on Random Variables 随机变量的线性运算

单个随机变量的线性变换 (Linear Transformation of a Single Random Variable)

• 均值 (Mean)：

• 标准差（Standard Deviation）

• 方差 (Variance)：

举例 (Example)：

• 均值：

• 标准差：

• 方差：

4. Operations with Two Random Variables 随机变量的加减运算

随机变量的加减 (Addition and Subtraction of Random Variables)

1. 均值 (Mean)：
1. 加法：
2. 减法：

2. 方差 (Variance)：
1. 加法与减法都满足：

1. 标准差 (Standard Deviation)：
1. 加法与减法都满足：

举例 (Example)：

• X和Y独立，，。

• 加法：

• 减法：

5. Binomial and Normal Distributions 二项分布与正态分布

二项分布 (Binomial Distribution)：

1. 验证条件 (Verification with BINS)：
1. Binary (B): 每次试验有两个可能的结果（成功或失败）。
2. Independent (I): 各次试验相互独立。
3. Number of Trials (N): 固定的试验次数
4. Same Probability (S): 每次试验成功的概率 p 恒定。

2. 概率公式：

1. 均值与标准差：

正态分布 (Normal Distribution)：

1. 特点：
1. 钟形曲线，数据集中在均值附近。

2. 68-95-99.7 规则：
1. 68% 数据在 $$\mu \pm \sigm$$ 范围内。
2. 95% 数据在 $$\mu \pm 2\sigm$$ 范围内。
3. 99.7% 数据在 $$\mu \pm 3\sigm$$ 范围内。

3. Z-Score 定义：

1. 用 Z-Score 计算概率的具体步骤：
1. Step 1: 计算 -score。
2. Step 2: 查标准正态分布表（Z 表）。
3. Step 3: 根据问题判断是左侧概率、右侧概率，还是两侧概率。

例子 (Example)：

• 已知 , ，求 的右侧概率：

6. Conditions for Statistical Validity 统计条件验证

1. 10% 条件 (10% Condition)：

• 目的：保证抽样独立性。

• 条件：样本量 不超过总体的 10%。

• 应用场景：
• 验证抽样分布是否满足独立性假设。

2. Large Counts 条件 (Large Counts Condition)：

• 目的：验证二项分布是否可以用正态分布近似。

• 条件：

• 应用场景：
• 判断样本比例的分布是否可以近似为正态分布。

举例验证 (Example Validation)：

• 假设 ：

7. Sampling and Sampling Distributions 抽样与抽样分布

抽样分布 (Sampling Distributions)：

1. 样本比例的分布 (Sample Proportion Distribution)：
1. 均值：
2. 10% 条件 (10% Condition)：

1. 中心极限定理 (Central Limit Theorem)：
1. 当样本量 时，无论总体分布如何，样本均值分布都会趋近正态分布。

2. 样本均值的分布 (Sample Mean Distribution)：
1. 均值：

考点 (Exam Examples)：

• 样本比例的分布计算。

• 样本均值的分布计算。

8. 数据可视化与解释 (Data Visualization and Interpretation)

1. 图表类型：
1. 树状图 (Tree Diagrams)：条件概率场景。
2. 维恩图 (Venn Diagrams)：联合事件概率。

2. 表格解释：
1. 概率分布表(Probability Distribution)。
2. 交叉表 (Contingency Tables) 分析联合和边际概率。